[數學] 二次方程式新公式

公式推導:

假設二次方程式 x^2+bx+c=0 有兩個解:\alpha\beta

可以寫作:x^2+bx+c=(x-\alpha)(x-\beta)

x等於\alpha\beta,右邊方程式即為0

將右邊方程式乘開: x^2+bx+c=x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta

我們可以根據上面方程式得知:

  • b=-(\alpha+\beta)
  • c=\alpha\beta

根據第一式b=-(\alpha+\beta)可以得知兩個解的總和(\alpha+\beta)為-b,並且可以知道兩個解的平均為-  \frac{b}{2},因此我們可以知道兩個解分別為 -  \frac{b}{2} \pm k

根據第二式c=\alpha\beta可以得知: c=(-\frac{b}{2}+k) (-\frac{b}{2}-k)=(-\frac{b}{2})^2-k^2

整理後可以得到: k= \pm \sqrt{ \frac{b^2}{4}-c}

所以二次方程式的解就是: -\frac{b}{2}   \pm \sqrt{ \frac{b^2}{4}-c}

使用步驟:

  1. 將方程式整理成x^2+bx+c=0格式
  2. 根據 b 值得知方程式兩個解分別為:- \frac{b}{2} \pm k
  3. 根據 c 值以及兩個解乘積求出k
  4. 根據- \frac{b}{2} \pm k求得兩個解

使用範例:

二次方程式: x^2-2x+4=0

根據b=-2 以及 -  \frac{b}{2} \pm k 可以知道方程式兩個解分別為:1 \pm k

根據 c=4可以知道方程式兩個解乘積為4,因此可以得到等式: (1+k)(1-k)=4,求解可以得到k= \pm i \sqrt{3}

根據1 \pm k可以求得兩個解為 1 \pm i \sqrt{3}

參考資料:

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