[4-1 有限交換群(Finite Permutation Group)] 概論

評價交換群的重要性必須建立在對他們結構知識一定程度的了解上
關於有限交換群基礎的事實展示在這個章節
他們的重要性將會在下面兩個章節揭曉

假設$A$是個有$n$個元素的有限集合

$$A={a_1,a_2,…,a_n}$$

任一個在$A$上$f$的交換群可以被$n$對應值的選擇所決定

$$f(a_1),f(a_2),…,f(a_n)$$

 

指派這些對應值

$f(a_1)$有$n$個選擇,$f(a_2)$有$n-1$個選擇…

所以總共有$n(n-1)…(2)(1)=n!$個$f$可被定義的選擇

因此$S(A)$有$n!$個元素

 

每個$S(A)$有$n!$的元素可以表示成一個$a_i$對應值寫在$i$下的矩陣

$$f = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \dots & a_n \\ f(a_1) & f(a_2) & \dots & f(a_n) \end{bmatrix}$$

 

每個在$A$上$f$的排列可以被對應於在$B$上的$f’$排列

用$k$取代$a_k$,$k=1,2,…,n$

$$B={1,2,…,n}$$

$$f’ = \begin{bmatrix} 1 & 2 & \dots & n \\ f ^\prime (a_1) & f ^\prime (a_2) & \dots & f ^\prime (a_n) \end{bmatrix}$$

$f\rightarrow f’$是$S(A)$到$S(B)$ 的同構(isomorphism,onto and 1-1)

除了符號,群是相等的

因此我們今後會將$n$個元素的排列寫成$B={1,2,…,n}$來思考

$S(B)$是具有$n$個元素的對稱群,寫作$S_n$

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